А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
0-9 A B C D I F G H IJ K L M N O P Q R S TU V WX Y Z #


Чтение книги "Загадки, фокусы и развлечения (сборник)" (страница 4)

   Числа-великаны

   Выгодная сделка

   Человек, от которого я слышал эту историю, не сказал мне, где и когда она произошла. Может быть, и вовсе не происходила; даже вернее всего, что так. Но она настолько занятна, что я все же расскажу вам ее в том виде, в каком сам слышал.
I
   К богачу-миллионеру явился однажды неизвестный человек и предложил вступить с ним в денежную сделку – такую, о какой богачу до тех пор не приходилось и слышать,
   – С завтрашнего дня, – сказал незнакомец, – я целый месяц буду приносить тебе ежедневно по тысяче рублей.
   Миллионер слушал, затаив дыхание. Незнакомец замолчал.
   – Ну, говори же! Что хочешь за это получить?
   – В первый день заплатишь за тысячу рублей всего одну копейку.
   – Одну копейку? – переспросил богач, думая, что ослышался.
   – Одну копейку. За вторую тысячу заплатишь две копейки.
   – Ну, – не терпелось миллионеру, – А дальше?
   – А дальше: за третью тысячу 4 копейки, за четвертую 8, за пятую – 16. И так целый месяц, каждый день вдвое против предыдущего.
   – И все?
   – Все. Больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по тысяче рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.
   «Тысячи рублей за копейки отдает. Верно, деньги фальшивые, или не в полном уме человек» – подумал богач.
   – Ладно, – согласился он. – Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.
   – Будь покоен. Завтра с утра жди.
   Незнакомец ушел, а миллионер долго раздумывал: придет завтра странный посетитель или уж не появится больше? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял…
II
   Рано утром постучал в окошко вчерашний гость.
   – Деньги готовь! – говорит. – Я свои принес.
   И действительно, стал выкладывать деньги – настоящие, не фальшивые бумажки. Отсчитал ровно тысячу и говорит:
   – Вот мое по уговору. Теперь твой черед платить.
   Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмет гость монету или раздумает, свою тысячу назад потребует. Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.
   – Завтра в такое же время жди. Да не забудь две копейки припасти, – сказал он и ушел.
   Богач не верил удаче: тысяча рублей с неба свалилась! Снова пересчитал принесенные деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: все было, как следует. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней тысячи.
   Ночью взяло его сомнение: не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячу, да и ограбить? Запер богач двери покрепче, с вечера в окна поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог.
   Наутро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал полную тысячу, получил две копейки, спрятал монету в суму и ушел, бросив на прощанье:
   – К завтрашнему утру четыре копейки, смотри, приготовь!
   Снова радуется богач: вторая тысяча даром далась! А гость и не похож на грабителя: по сторонам не глядит, не высматривает, лишнего не выспрашивает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось…
   На третье утро опять стук в окно. Явился незнакомец – и третья тысяча перешла к богачу за 4 копейки.
   Еще день, и таким же манером явилась четвертая тысяча – за восемь копеек.
   Пришла и пятая тысяча – за 16 копеек.
   Потом шестая – за 32 копейки.
   К концу недели получил наш богач уже 7 тысяч рублей, а уплатил пустяк:
   1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 р. 27 коп.
   Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что уговорился всего на один только месяц. Больше 30 тысяч получить не удастся. Разве уговорить чудака продлить срок еще хоть на две-три недели? Боязно: как бы не спохватился, что зря деньги отдает…
   А незнакомец по-прежнему аккуратно являлся каждое утро со своей тысячею. На восьмой день он получил 1 р. 28 коп., на 9-й – 2 р. 56 коп., на 10-й – 5 р. 12 к., на 11-й – 10 р. 24 коп., на 12-й – 20 р. 48 коп., на 13-й – 40 р. 96 коп., на 14-й – 81 р. 92 коп.
   Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже 14000 рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста.
III
   Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость вовсе не простак, и что сделка с ним не так выгодна, как казалось сначала. Дело в том, что на третьей неделе приходилось за очередные тысячи платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата эта страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил в начале третьей недели:
   за 15-ю тысячу … 163 р. 84 коп.
   за 16-ю тысячу … 327 р. 68 коп.
   за 17-ю» тысячу … 655 р. 36 коп.
   за 18-ю» тысячу … 1310 р. 72 коп.
   Продолжать сделку становилось положительно невыгодно: получаешь тысячу, а платишь больше. Но нарушать уговор нельзя, надо дотянуть до конца месяца. Впрочем, богач не считал себя в убытке: он хотя и уплатил больше двух с половиною тысяч, зато получил полных 18.
   Но дальше пошло хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит. Вот дальнейшие платежи:
   за 19-ю тысячу … 2621 р. 44 коп.
   за 20-ю тысячу … 5242 р. 88 коп.
   за 21-ю» тысячу … 10485 р. 76 коп.
   за 22-ю» тысячу … 20971 р. 52 коп.
   за 23-ю» тысячу … 41943 р. 04 коп.

   За одну только 23-ю тысячу миллионер уплатил больше, чем получит за весь месяц!
   Настала последняя неделя месяца – и эти 7 дней в конец разорили нашего миллионера. Действительно, он уплатил:
   за 24-ю тысячу … 83886 р. 08 коп.
   за 25-ю тысячу … 167772 р. 16 коп.
   за 26-ю тысячу … 335544 р. 32 коп.
   за 27-ю тысячу … 671088 р. 64 коп.
   за 28-ю тысячу … 1342177 р. 28 коп.
   за 29-ю тысячу … 2684354 р. 56 коп.
   за 30-ю тысячу … 5368709 р. 12 коп.

   Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешевые на первый взгляд 30 тысяч рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу
   10737418 р. 23 коп.

   Без малого 11 миллионов… А ведь началось с одной копейки! Незнакомец мог бы приносить даже по сто тысяч в день – и все-таки не прогадал бы.
IV
   Прежде чем кончить с этой историей, покажу еще, каким способом можно облегчить подсчет убытков миллионера, т. е. как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:
   1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 и т. д.
   Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:
   2 = 1 + 1
   4 = (1 + 2) + 1
   8 = (1 + 2 + 4) + 1
   16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1
   32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1
   и так далее.

   Мы видим, другими словами, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, да еще одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа ряда, например, от 1 до 32768, то мы лишь прибавляем к последнему числу (32768) сумму всех предыдущих (т. е. 32768 – 1). Получаем 65535.
   Этим способом мы можем подсчитать убытки нашего миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний день. Его последний платеж был 5368709 р. 12 коп. Поэтому, сложив 5368709 р. 12 коп. и 5368709 р. 11 коп., получаем сразу искомый результат: 10737418 р. 23 к.

   Городские слухи

   Удивительно, как быстро расходятся по городу слухи! Иной раз и двух часов не пройдет со времени какого-нибудь интересного происшествия, случившегося на глазах всего нескольких зрителей, – а новость уже облетела весь город: все о ней знают, все слыхали.
   Эта необычайная быстрота кажется поразительной, прямо загадочной. Однако, если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного и непостижимого здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не какими-то таинственными особенностями самих слухов.
I
   Для примера рассмотрим хотя бы такой случай. В губернский город приехал в 8 часов утра житель столицы и привез с собою свежую, всем интересную новость. В гостинице, где приезжий остановился, он сообщил эту новость только троим местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.
   Итак, в 8 1/4 часа утра новость была известна всего только четверым людям: приезжему и трем местным жителям.
   Узнав интересную новость, каждый из троих граждан поспешил рассказать ее 3-м другим. Это потребовало, допустим, также четверти часа – срок не слишком короткий для передачи слуха. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + 3 x 3 = 13 человек.
   Каждый из 9-ти вновь узнавших в такой же срок поделился с 3-мя другими гражданами, так что к 8 3/4 часам утра новость стала известна
   13 + 3 x 9 = 40 гражданам.
   Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый узнавший про новость успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
   в 9 час. новость узнают 40 + 3 x 27 = 121 челов.
   в 9 1/4 час. новость узнают 121 + 3 x 81 = 364 челов.
   в 9 1/2 час. новость узнают 364 + 3 x 243 = 1093 челов.

   Спустя полтора часа от начала движения слуха новость будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для города с населением в 50.000, и можно, пожалуй, подумать, что новость не скоро еще станет известна всем его жителям. Однако проследим далее за движением слуха:
   в 9 3/4 час. новость узнают 1093 + 3 x 729 = 3280 челов.
   в 10 час. новость узнают 3280 + 3 x 2187 = 9841 челов.

   Еще спустя четверть часа – уже больше половины города будет посвящено в новость:
   9841 + 3 x 6561 = 29524.

   И следовательно, ранее чем к половине одиннадцатого дня поголовно все жители будут знать новость, которая в 8 часов утра была известна только одному человеку.

II
   Подсчет наш сводился, в сущности, к тому, что мы сложили такой ряд чисел:
   1 + 3 + 3 x 3 + 3 x 3 x 3 + 3 x 3 x 3 x 3 + и т. д.

   Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы на стр. 54 сумму чисел ряда 1 + 2 + 4 + 8 + и т. д.? Это возможно, если принять в соображение следующую особенность складываемых здесь чисел:
   3 = 1 x 2 + 1
   9 = (1 + 3) x 2 + 1
   27 = (1 + 3 + 9) x 2 + 1
   81 = (1 + 3 + 9 + 27) x 2 + 1
   и так далее.

   Иначе говоря: каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел да еще одна единица.
   Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел такого ряда от 1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу его половину (предварительно откинув единицу). Например, сумма чисел
   1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729
   равна 729 + половина от 728, т. е. 729 + 364 = 1093.
III
   В нашем случае каждый узнавший новость передавал ее только троим гражданам. Но если бы жители города были более словоохотливы и сообщали услышанную новость не 3-м, а, например, 5-ти или даже 10-ти другим, то слух распространялся бы, конечно, еще быстрее. Так, при передаче пятерым картина осведомления города была бы такая:
   в 8 час … 1 чел.
   в 8 1/4 час … 1 + 5 = 6 чел.
   8 1/2 час … 6 + 5 x 5 = 31 чел.
   8 3/4 час … 31 + 25 x 5 = 156 чел.
   9 час … 156 + 125 x 5 = 781 чел.
   9 1/4 час … 781 + 625 x 5 = 3906 чел.
   9 1/2 час … 3906 + 3125 x 5 = 19531 чел.

   Ранее чем в 9 3/4 часа утра новость уже будет известна всему 50-тысячному населению города.
   Еще быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10-ти другим. Тогда получим такой любопытный ряд чисел:
   8 час … 1
   8 1/4 час … 1 + 10 = 11
   8 1/2 час … 11 + 100 = 111
   8 3/4 час … 111 + 1000 = 1111
   9 час … 1111 + 10000 = 11111

   Следующее число этого ряда, очевидно, 111111; это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра. Слух разнесется почти в один час!
Чтение онлайн



1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Навигация по сайту
Реклама


Читательские рекомендации

Информация