А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
0-9 A B C D I F G H IJ K L M N O P Q R S TU V WX Y Z #


Чтение книги "Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс" (страница 7)

   1.1. Задачи на треугольник

   При решении вычислительных задач на треугольник нужно знать следующие формулы (рис. 125):
   Рис. 125.


   где a, b, с – стороны треугольника;
   α, β, γ – противолежащие им углы;
   r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;
   ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;
   S – площадь треугольника;
   – полупериметр треугольника.
   Иногда применяют формулу
   а также формулу расстояния между центрами описанной и вписанной окружностей:
   Примеры решения задач
   1. Определите вид треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный) со сторонами 8, 6 и 11 см (рис. 126). (1)
   Рис. 126.

   Решение. Обозначим больший угол треугольника через α. Очевидно, что он лежит напротив стороны в 11 см, так как в треугольнике больший угол лежит против большей стороны. По теореме косинусов 112= 82+ 62– 2·8·6·cos α;
   cos α = -7/32 < 0, значит, угол α – тупой.
   Можно было рассуждать и по-другому. Если бы угол α был равен 90°, то большая сторона по теореме Пифагора равнялась бы
   Удлинение стороны на 1 см автоматически увеличивает и лежащий напротив угол – он становится тупым.
   Ответ: тупоугольный.

   2. Основание треугольника равно 6 см, один из углов при основании равен 105°, другой – 45°. Найдите длину стороны, лежащей против угла в 45° (рис. 127). (1)
   Рис. 127.

   Решение. Пусть в треугольнике ABC будут АС = 6 см, ∠А = 45°, ∠С = 105°. Обозначим длину стороны ВС через х. Её нам и нужно найти. Воспользуемся теоремой синусов по которой:
   Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180°, получим:∠В = 180° – ∠A – ∠C = 180°– 45°– 105° = 30°.
   Итого
   Ответ:

   3. Найдите площадь треугольника со сторонами 2, √5 и 3 (рис. 128). (1)
   Рис. 128.

   Решение. Можно воспользоваться формулой Герона:
   В нашем случае:
   Полупериметр:
   Проще решить задачу можно было бы так. По теореме косинусов:
   Так как площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними, то:
   Ответ: √5.

   4. В треугольнике ABC, где ∠ACB = 120°, проведена медиана СМ. Найдите ее длину, если АС = 6, ВС = 4 (рис. 129). (2)
   Рис. 129.

   Решение. Воспользуемся формулой длины медианы
   У нас а = ВС = 4, b = АС = 6. Осталось найти с = АВ. Применим к треугольнику АСВ теорему косинусов: с2= АВ2= АС2+ ВС2– 2AC · BC · cos(∠АСВ) = 62+ 42– 2 · 6 · 4 · cos 120° = 36 + 16–48·(-1/2) = 76.
   Ответ: √7.

   5. Найдите длины сторон АВ и АС остроугольного треугольника ABC, если ВС = 8, а длины высот, опущенных на стороны АС и ВС, равны 6, 4 и 4 соответственно (рис. 130). (2)
   Рис. 130.

   Решение. Единственный угол треугольника, который остался «нетронутым», угол С.
   Из прямоугольного треугольника ВМС следует:
   тогда
   Из ⊿АКС:
   А теперь по теореме косинусов, применённой к треугольнику ABC, получаем:
   Ответ: AB = √41; AC = 5.

   6. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника (рис. 131). (2)
   Рис. 131.

   Решение: Обозначим через α наименьший угол в треугольнике и через β наибольший угол. Тогда третий угол равен π – α – β. По условию задачи β – α = π – α – β (больший угол не может равняться разности двух других углов). Отсюда следует, что 2β = π; β = π/2. Значит, треугольник прямоугольный. Катет ВС, лежащий против меньшего угла α, равен по условию 1, значит, второй катет АВ равен ctgα, а гипотенуза АС равна 1/sin α. Поэтому сумма площадей квадратов, построенных на гипотенузе и большем катете, равна:
   Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, и её радиус равен:
   а площадь равна:
   Пользуясь условием задачи, имеем уравнение:
   откуда
   Длина большей стороны треугольника равна
   Ответ:

   7. Длины сторон а, b, с треугольника равны 2, 3 и 4. Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. (2)
   Решение. Для решения задачи даже чертеж не нужен. Последовательно находим: полупериметр


   Расстояние между центрами окружностей:
   Ответ:

   8. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна π/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна √3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC (рис. 132). (3)
   Рис. 132.

   Решение: Пусть CD – высота треугольника ABC, опущенная из вершины С. Возможны три случая. Основание D высоты CD попадает:
   1) на отрезок АВ;
   2) на продолжение отрезка АВ за точку В;
   3) в точку В.
   По условию радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Следовательно, во всех трех случаях:
   Теперь ясно, что точка D не совпадает с точкой В, так как ВС ≠ CD. Применяя теорему Пифагора к треугольникам ACD и BCD, находим, что
   Отсюда следует, что точка D лежит между точками А и В, но тогда АВ = AD + BD (1 + 6√2) см.
   Ответ: АВ = (6√2 + 1) см, ВС = 5√3 см, АС = 2 см.

   9. В треугольниках ABC и A1B1C1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно √n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение (рис. 133)? (3)
   Рис. 133.

   Решение: Пусть ABC и A1B1C1 – данные в условии задачи треугольники. Применяя теорему косинусов к треугольникам ABC и А1В1С1, имеем:
   Т. к. по условию задачи В1С1 :ВС = √n, то
   Поскольку А1В1 = АВ и А1С1 = АС, то, разделив числитель и знаменатель дроби в левой части равенства (1) на АС2и обозначив АВ: АС через х, получим равенство:
   откуда ясно, что искомое отношение длины АВ к длине АС есть корень уравнения
   х2(n – 1) – х(n + 1) + n – 1 = 0. (2)
   Т. к. В1С1 > ВС, то n > 1. Следовательно, уравнение (2) является квадратным. Его дискриминант равен (n + 1)2– 4(n – 1)2= – 3n2+ 10n – 3.
   Уравнение (2) будет иметь решения, если – 3n2+ 10n – 3 ≥ 0, т. е. при -1/3 ≤ n ≤ 3. Т. к. n – натуральное число, большее 1, то уравнение (2) имеет решения при n = 2 и n = 3. При n = 3 уравнение (2) имеет корень х = 1; при n = 2 уравнение имеет корни
   Ответ: отношение длины АВ к длине АС равно
   при n = 2; равно 1 при n = 3; при остальных n решений нет.
   Задачи для самостоятельного решения
   10. В треугольнике ABC высота AD на 4 см меньше стороны ВС. Сторона АС равна 5 см. Найдите периметр треугольника ABC, если его площадь равна 16 см2. (1)
   11. Докажите, что для любого треугольника выполняется равенство:
   где ha, hb и hc – высоты треугольника, а r – радиус вписанной окружности. (2)
   12. Основание треугольника равно √2. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам.(2)
   13. Найдите площадь треугольника по стороне а и прилежащим к ней углам α и β. (2)
   14. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы СЕ равна 5 см, расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1 см. Найти длину стороны АВ. (3)
   15. В треугольнике ABC высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС, и BE: ЕС = 5:9. Найти длину стороны АС. (3)
   16. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 3, ∠ВАС = π/6 и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3. (3)
   17. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, пересекаются под прямым углом. Длина стороны АС равна b, длина стороны ВС равна а. Найти длину стороны АВ. (3)

   1.2. Задачи на равнобедренный и равносторонний треугольники

   К задачам на равнобедренный треугольник применимы все формулы п. 1.1 этой главы, разве что во всех формулах b = с, β = γ.
   В случае равностороннего треугольника формулы значительно упрощаются, т. к. а = b = с, α = β = γ = 60°. Тогда
   длины всех медиан, высот и биссектрис равны
   Примеры решения задач
   18. Один из углов равнобедренного треугольника равен 120°. Найдите отношение сторон треугольника (рис. 134). (1)
   Рис. 134.

   Решение. Обозначим основание треугольника через b, боковые стороны через а (см. рис.). По теореме косинусов
   Тогда отношения сторон треугольника а: а: в = 1:1:√3.
   Ответ: 1:1:√3.

   19. Найдите площадь круга, описанного вокруг равностороннего треугольника со стороной а (рис. 135). (1)
   Рис. 135.

   Решение. Обозначим сторону треугольника через а. Тогда по теореме синусов имеем:

   Площадь круга:
   Ответ:

   20. Основание равнобедренного треугольника равно 4√2, медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны (рис. 136). (2)
   Рис. 136.

   Решение. Можно воспользоваться готовой формулой длины медианы:
   Обозначим АВ через 2х, тотда ВМ = МС = х (см. рис.).
   Имеем:
   АВ = ВС = 6.
   Задачу можно решить по-другому. Из ⊿ABC по теореме косинусов:
   Далее, по той же теореме косинусов из ⊿АМВ:
   Ответ: 6.

   21. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если длина высоты, опущенной на основание треугольника, равна 3 см (рис. 137). (2)
   Рис. 137.

   Решение. Пусть данный треугольник ABC, где АВ = ВС; ВК = 3; АК = КС = 4 (см. рис.). Угол ОВС обозначим через α. Из треугольника ВКС по теореме Пифагора находим:
   Из того же треугольника следует: tg α = 4/3. Радиус окружности R = ОС найдём из треугольника ВСО:
   Ответ: 20/3 см.
   Задачи для самостоятельного решения
   22. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 12, а угол при вершине – 120°. Определите высоту треугольника. (1)
   23. В равнобедренном треугольнике основание и опущенная на него высота равны 4. Найдите площадь описанного круга. (1)
   24. В равнобедренном треугольнике высота равна 8, а основание относится к боковой стороне, как 6:5. Найдите радиус вписанной окружности. (1)
   25. Длина окружности, описанной около равностороннего треугольника, равна 4. Найдите площадь заштрихованного сектора (рис. 138). (2)
   Рис. 138.

   26. Докажите, что сумма расстояний от любой точки равностороннего треугольника до его сторон равна длине высоты треугольника. (2)

   1.3. Задачи на прямоугольный треугольник

   Для прямоугольного треугольника с катетами а, b и гипотенузой с, помимо общих формул (см. п. 1.1 этой главы), характерны следующие соотношения:
   (центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы); а = csin α = ccos β = btgα = bctgβ.
Чтение онлайн



1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Навигация по сайту


Читательские рекомендации

Информация