А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
0-9 A B C D I F G H IJ K L M N O P Q R S TU V WX Y Z #


Чтение книги "Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс" (страница 4)

   2.3. Темы для сообщений и рефератов

   1. Замечательные точки в треугольнике. (1)
   2. Вневписанные окружности. (1–2)
   3. Радикальная ось и радикальный центр окружностей. Пучки окружностей. (3)
   4. Полярное соответствие. Принцип двойственности в геометрии. (3)
   5. Отображения и преобразования множеств. Композиция преобразований. Аффинные преобразования плоскости. (3)
   6. Инверсия плоскости относительно окружности. (3)
   7. Понятие длины. Расстояние между фигурами. (2)

   § 3. Важнейшие теоремы и формулы школьного курса планиметрии

   3.1. Справочная информация

   Приведём без доказательства основные теоремы планиметрии.
   Доказательства желательно изучать по вашему учебнику. Опасно изучать доказательство теорем по разным учебным пособиям – можно в погоне за простотой попасться на капкане «порочного круга». Приведём простой пример. Нужно доказать признаки параллельных прямых (если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны).
   На рис. 56:m, n, a – прямые. Точка А – точка пересечения прямых m и а, В – точка пересечения прямых n и а.
   Рис. 56.

   Ученик привёл простое доказательство: если бы прямые m и n пересекались в некоторой точке С, то тогда из того, что сумма углов в треугольнике АСВ равна 180°, следует, что ∠АСВ = 0°, что невозможно. Значит, прямые m и n параллельны.
   Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе признаков параллельности прямых. Круг замкнулся. Поэтому в повторении теории будьте последовательны и внимательны. При чтении доказательства теоремы особое внимание обращайте на то, где в доказательстве использованы условия теоремы, какие ранее доказанные теоремы при этом использовались.
   В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».
   Основные теоремы планиметрии и следствия из них
1. Теоремы о прямых (параллельность и перпендикулярность на плоскости)
   Свойства параллельных прямых.
   Две прямые, параллельные третьей, параллельны (рис. 57).
   (а||с, b||с) → а||b.
   Рис. 57.

   Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).
   а||b → α = β
   α + γ = 180°.
   Рис. 58.

   Признаки параллельности прямых.
   Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):
   внутренние накрест лежащие углы равны → а||b.
   Рис. 59.

   Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):
   а||b.
   Рис. 60.

   Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):
   а||b.
   Рис. 61.

   Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).
   Рис. 62.

   Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.
   Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).
   Рис. 63.

   Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

   Связь между параллельностью и перпендикулярностью.
   Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).
   (а ⊥ с, b ⊥ с) → а||b.
   Рис. 64.

   Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):
   (а ⊥ b, b||с) → а ⊥ с.
   Рис. 65.
2 Теоремы об углах. Углы в треугольнике. Вписанные в окружность углы
   Свойство вертикальных углов.
   Вертикальные углы равны (рис. 66):
   α = β.
   Рис. 66.

   Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):
   АВ = ВС → ∠А = ∠С.
   Рис. 67.

   Теорема о сумме углов в треугольнике.
   Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):
   α + β + γ = 180°.
   Рис. 68.

   Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.
   Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°·(n – 2) (рис. 69).
   Рис. 69.

   Пример:∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180°·(5–2) = 540°.

   Теорема о внешнем угле треугольника.
   Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):
   γ = β + α.
   Рис. 70.

   Теорема о величине вписанного в окружность угла.
   Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):
   Рис. 71.
3. Основные теоремы о треугольнике
   Признаки равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 72).
   Рис. 72.

   ⊿ABC = ⊿A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и ∠A = ∠A1.
   Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).
   Рис. 73.

   ⊿ABC = ⊿A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1.

   Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).
   Рис. 74.

   ⊿ABC = ⊿A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.

   Признаки равенства прямоугольных треугольников.
   Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).
   Рис. 75.

   ⊿ABC = ⊿A1B1C1 т. к. ∠А = ∠А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.
   Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).
   Рис. 76.

   ⊿АВС = ⊿А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ∠А = ∠A1 a ∠С = ∠С1 = 90°.

   Свойство медианы равнобедренного треугольника.
   В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).
   Рис. 77.

   (АВ = ВС, АМ = МС) → (∠АВМ = ∠МВС, ∠АМВ = ∠ВМС = 90°).

   Свойство средней линии треугольника.
   Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).
   Рис. 78.

   EF||AC, EF = 1/2АС, т. к. АЕ = ЕВ и BF = FC.

   Теорема синусов.
   Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).
   Рис. 79.


   Теорема косинусов.
   Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (рис. 80).
   Рис. 80.

   а2= b2+ с2– 2bc cos α.
   Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов).
   В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).
   Рис. 81.

   с2= а2+ b2.
4. Пропорциональность и подобие на плоскости
   Теорема Фалеса.
   Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 82).
   Рис. 82.

   (АВ = BC, AA1||BB1||CC1) → A1B1 = В1С1, q и р – лучи, образующие угол α.
   а, b, с – прямые, пересекающие стороны угла.

   Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса).
   Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 83).
   Рис. 83.

   или

   Свойство биссектрисы треугольника.
   Биссектриса угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 84).
   Рис. 84.

   Если α = β, то
   или

   Признаки подобия треугольников.
   Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 85).
   Рис. 85.

   Треугольники ABC и A1B1C1 – подобные, т. к. α = α1 и β = β1.
   Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 86).
   Рис. 86.

   Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к.
   и α = α1.
   Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 87).
   Рис. 87.

   Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к
5. Основные геометрические неравенства
   Соотношение длин наклонной и перпендикуляра.
   Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше (рис. 88):
   АА' < АВ < АС; если А'С > А'В, то АС > АВ.
   Рис. 88.

   Неравенство треугольника.
   Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (рис. 89):
   АС < АВ + ВС.
   Рис. 89.

   Связь между величинами сторон и величинами углов в треугольнике.
   В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол (рис. 90).
   (BC < AB < AC) → (∠А < ∠С < ∠В).
   Рис. 90.
6. Основные геометрические места точек на плоскости
   Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла (рис. 91).
   Рис. 91.

   АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.
   Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 92).
   Рис. 92.

   MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.
   Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 93).
   Рис. 93.

   Точка О равноудалена от точек окружности.

   Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.
   Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 94).
   Рис. 94.

   А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.
   АМ = МВ и АК = КС.
   Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.

   Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.
   Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 95).
   Рис. 95.

   В ⊿ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.
7. Теоремы о четырёхугольниках
   Свойства параллелограмма.
   У параллелограмма противолежащие стороны равны. У параллелограмма противолежащие углы равны.
   Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 96).
   Рис. 96.

   АВ = CD, ВС = AD, ∠BAD = ∠BCD, ∠АВС = ∠ADC, AO = OC, BO = OD.

   Признаки параллелограмма.
   Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).
   Рис. 97.

   ВС||AD, ВС = AD → ABCD – параллелограмм.

   Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).
   Рис. 98.

   АО = ОС, ВО = OD → ABCD – параллелограмм.

   Свойства прямоугольника.
   Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
   Диагонали прямоугольника равны (рис. 99):
   АС = BD.
   Рис. 99.

   Признак прямоугольника.
   Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

   Свойства ромба.
   Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
   Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).
   Рис. 100.

   AC ⊥ BD, ∠ABD = ∠DВС = ∠CDB = ∠BDA, ∠ВАС = ∠CAD = ∠ВСА = ∠DCA.

   Признак ромба.
   Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

   Свойства квадрата.
   Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

   Признак квадрата.
   Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.

   Свойство средней линии трапеции.
   Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).
   Рис. 101.

   Критерии вписанного и описанного четырехугольников.
   Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102).
   ∠А + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
   Рис. 102.

   Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103).
   AB + CD = AD + BC.
   Рис. 103.
8. Теоремы об окружностях
   Свойство хорд и секущих.
   Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS · BS = CS · DS (рис. 104).
   Рис. 104.

   Если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS · BS = CS · DS (рис. 105).
   Рис. 105.

   Число π.
   Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от радиуса окружности, то есть оно одно и то же для любых двух окружностей. Это число равно π (рис. 106).

   Рис. 106.
9. Векторы
   Теорема о разложении вектора по базису.
   Если на плоскости даны два неколлинеарных вектора а и b и любой другой вектор с, то существуют единственные числа n и m, такие, что с = nа + mb (рис. 107).
   где

   Рис. 107.

   Теорема о скалярном произведении векторов.
   Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных q величин (длин) на косинус угла между ними (рис. 108).
   ОА · ОВ = ОА · OB · cos α.
   Рис. 108.
Чтение онлайн



1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Навигация по сайту
Реклама


Читательские рекомендации

Информация