А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
0-9 A B C D I F G H IJ K L M N O P Q R S TU V WX Y Z #


Чтение книги "Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс" (страница 16)

   Билет № 4

   1. Геометрическое место точек. Основные геометрические места точек на плоскости. Метод геометрических мест.
   2. Признаки подобия треугольников.
   3. Формула расстояния между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0.
   4. На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь треугольника СКВ, если длина катета AС равна b и величина угла ABC равна β.
   5. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны.

   Билет № 5

   1. Вектор. Координаты вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
   2. Признаки параллельности прямых.
   3. Зависимость между высотами треугольника и радиусом вписанной в него окружности.
   4. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.
   5. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы СЕ равна 5 см, расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1 см. Найти длину стороны АВ.

   Билет № 6

   1. Движения на плоскости, их виды. Композиция движений.
   2. Свойство биссектрисы треугольника.
   3. Взаимное расположение прямой ах + by + с = 0 и вектора n = (а; b).
   4. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр четырёхугольника ABCD.
   5. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 2:1, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1.

   Билет № 7

   1. Преобразования плоскости. Преобразование подобия. Гомотетия.
   2. Докажите, что точка пересечения боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
   3. Свойство точки пересечения медиан.
   4. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN.
   5. В треугольнике ABC высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС и BE: ЕС – 5:9. Найти длину стороны АС.

   Билет № 8

   1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников.
   2. Уравнение прямой. Геометрический смысл числа k в уравнении у = kx + b.
   3. Число π и методы его вычисления. Длина окружности.
   4. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ∠CDB = α.
   5. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG?

   Билет № 9

   1. Свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника и выпуклого n-угольника.
   2. Формулы приведения.
   3. Теорема Менелая и обратная к ней.
   4. Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5.
   5. Продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки M и N – середины сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то ABCD – трапеция.

   Билет № 10

   1. Геометрическое место центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
   2. Теорема Чевы и обратная к ней.
   3. Многоугольники. Правильные многоугольники. Формулы R и r для правильного n-угольника со стороной а.
   4. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.
   5. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM.

   Билет № 11

   1. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл.
   2. Использование теорем синусов и косинусов для решения треугольников.
   3. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата.
   4. На плоскости даны две окружности радиусов 12 см и 7 см с центрами в точках О1 и O2, касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка M1M2 к длине отрезка О1O2 равно
   Вычислить длину отрезка М1М2.
   5. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка М – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.

   Билет № 12

   1. Признаки и свойства параллелограмма.
   2. Формула Эйлера о расстоянии между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.
   3. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Основные тригонометрические тождества.
   4. В треугольниках ABC и А1В1С1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно √n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение?
   5. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4.

   Билет № 13

   1. Аксиоматический подход в геометрии. Требования к системе аксиом. Аксиоматическая теория.
   2. Теорема синусов. Формула 2R = a/sin α.
   3. Вписанные в окружность углы. Соотношение между вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу.
   4. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и √DAB = π/3.
   5. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника.

   Билет № 14

   1. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.
   2. Длина медианы треугольника.
   3. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Угол между прямыми.
   4. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна π/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.
   5. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что AM = 1, ВМ = √3 и СМ = 2. Найти АВ, ∠АМВ и ∠ВМС.

   Билет № 15

   1. Теорема Пифагора. Египетский треугольник.
   2. Длина биссектрисы треугольника.
   3. Понятие площади фигуры. Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.
   4. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство: РА2+ РВ2+ PC2≥ 1/3(АВ2+ ВС2+ СА2).
   5. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5√2 и что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О – вне или внутри квадрата.

   Билет № 16

   1. Формула расстояния от точки А(х0, у0) до прямой ах + by + с = 0.
   2. Значения sin, cos, tg, ctg от углов 30°, 45° и 60°.
   3. Докажите, что если треугольники подобны, то с тем же коэффициентом пропорциональны произвольные соответствующие линейные элементы этих треугольников.
   4. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 3, ∠ВАС = π/6 и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3.
   5. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее удалённой от нее вершины прямоугольника.

   Билет № 17

   1. Координаты на плоскости. Расстояние между точками.
   2. Теорема косинусов. Связь теоремы косинусов и теоремы Пифагора.
   3. Площадь четырёхугольника, правильного n-угольника.
   4. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, пересекаются под прямым углом. Длина стороны АС равна b, длина стороны ВС равна а. Найти длину стороны АВ.
   5. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки.

   Билет № 18

   1. Уравнение фигуры. Уравнение окружности.
   2. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису.
   3. Формула S = рr для треугольника.
   4. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади.
   5. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки М и Т, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2. Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.

   Билет № 19

   1. Касательная к окружности, её свойство. Виды касания окружностей.
   2. Координатные формулы движений.
   3. Формула S = abc/4R для треугольника.
   4. В треугольнике ABC угол А прямой, величина угла В равна 30°. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен √3. Найти расстояние от вершины С до точки касания этой окружности с катетом АВ.
   5. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

   Билет № 20

   1. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.
   2. Первая теорема косинусов для четырёхугольника.
   3. Свойство средней линии треугольника и трапеции.
   4. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1/3 высоты, проведённой к средней по величине стороне треугольника.
   5. Средняя линия трапеции равна 4, отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1, углы при основании трапеции равны 40° и 50°. Найдите длины оснований трапеции.
Чтение онлайн



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [16] 17 18 19 20 21

Навигация по сайту
Реклама


Читательские рекомендации

Информация