А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
0-9 A B C D I F G H IJ K L M N O P Q R S TU V WX Y Z #


Чтение книги "Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс" (страница 13)

   Задачи для самостоятельного решения
   163. Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три равные части. Как относятся основания этой трапеции? (1)
   164. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба. (1)
   165. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы четырех углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. (2)
   166. Площадь четырёхугольника равна S. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника. (2)
   167. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон. (2)
   168. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны. (1)

   Глава 3
   Билеты по геометрии

   § 1. Экзаменационный комплект № 1 (зачётная работа)

   Билет № 1

   1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).
   2. Решение треугольника по стороне и двум углам.
   3. Углы ADC и ABC вписаны в окружность, ∠ABC = 74°. Найдите градусную меру ∠ADC (рис. 213).
   Рис. 213.

   4. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам.

   Билет № 2

   1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).
   2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
   3. В треугольнике ABC отмечены точки D и Е, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Найдите периметр четырёхугольника ADEC, если АВ = 24 см, ВС = 32 см и АС = 44 см.
   4. Расстояние от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

   Билет № 3

   1. Третий признак равенства треугольников (формулировки и пример).
   2. Теорема об углах, вписанных в окружность.
   3. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, сторона которого равна 4 см.
   4. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

   Билет № 4

   1. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).
   2. Решение треугольника по трём сторонам.
   3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К. Чему равны отрезки МК и KL?
   4. Из одной точки к двум касающимися внешним образом окружностям проведены три касательные, причем одна из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные равны.

   Билет № 5

   1. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.
   2. Свойство углов равнобедренного треугольника.
   3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, опущен на гипотенузу СВ перпендикуляр DE. Найдите отрезок CD, если СВ = 15 см, АВ = 9 см и СЕ = 4 см.
   4. Точки К и L – середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AL и СК делят диагональ BD на три равные части.

   Билет № 6

   1. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.
   2. Признак равнобедренного треугольника.
   3. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник MAN – равнобедренный.
   4. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника.

   Билет № 7

   1. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.
   2. Свойство медианы равнобедренного треугольника.
   3. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок
   пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см. Определите сторону параллелограмма AD, если FB = 4 см.
   4. Докажите, что в ромб можно вписать окружность.

   Билет № 8

   1. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.
   2. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.
   3. В треугольниках ADB и AFC: AD = DB, AF = FC. Докажите, что DB||FC (рис. 214).
   Рис. 214.

   4. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AB2+ CD2= BС2+ AD 2.

   Билет № 9

   1. Теорема синусов. Пример её применения для решения треугольников.
   2. Окружность, описанная около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.
   3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.
   4. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции.

   Билет № 10

   1. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.
   2. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.
   3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.
   4. В прямоугольном треугольнике ABC (∠С – прямой) проведена высота CD. Докажите, что если ∠СВА = 30°, то АВ: BD = 4:3.

   Билет № 11

   1. Построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному.
   2. Умножение вектора на число. Свойства произведения вектора на число.
   3. Радиус окружности равен 7 см. Найдите периметр описанного около нее правильного четырёхугольника.
   4. Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.

   Билет № 12

   1. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.
   2. Неравенство треугольника.
   3. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.
   4. На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.

   Билет № 13

   1. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.
   2. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).
   3. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.
   4. Угол DFG вписан в окружность с центром в точке О. Найдите градусную меру ∠DOG, если ∠DFG = 150° (рис. 215).
   Рис. 215.

   Билет № 14

   1. Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки.
   2. Теорема о средней линии треугольника.
   3. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите стороны ромба.
   4. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см, а периметр равнобедренного – 40 см. Найдите стороны данных треугольников, если они имеют общее основание.

   Билет № 15

   1. Свойства параллелограмма (формулировки и примеры).
   2. Теорема о внешнем угле треугольника.
   3. В треугольнике AEF проведена биссектриса AD угла А, на сторонах угла от его вершины отложены равные отрезки АВ и АС. Докажите равенство треугольников BAD и CAD.
   4. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

   Билет № 16

   1. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).
   2. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.
   3. Даны две концентрические окружности с центром в точке О. АС и BD – диаметры этих окружностей. Докажите, что ⊿АВО = ⊿CDO.
   4. Один из углов равнобедренного треугольника 120°. Найдите отношение сторон этого треугольника.

   Билет № 17

   1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).
   2. Свойство диагоналей ромба.
   3. BD – медиана равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС). Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 50 см, а периметр ⊿ABD равен 30 см.
   4. Точки М, N и P лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC, причем MN||AC, NP||АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если АВ = 16 см, АС = 24 см, PN: MN = 2:3.

   Билет № 18

   1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырёхугольника, правильного шестиугольника (формулы и примеры).
   2. Свойство диагоналей прямоугольника.
   3. На сторонах угла Q отложены равные отрезки QR и QP. Через точки R и P проведена прямая. Определите ∠QRP, если ∠RPQ = 67°.
   4. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.

   Билет № 19

   1. Формула длины окружности (формула и пример).
   2. Первый признак равенства треугольников.
   3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 5 см.
   4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?

   Билет № 20

   1. Формулы площади треугольника (формулы и примеры).
   2. Признаки параллелограмма.
   3. Докажите, что общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров.
   4. Средняя линия описанной около окружности трапеции равна 4. Найдите периметр трапеции.

   Билет № 21

   1. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма (формулы и примеры).
   2. Второй признак равенства треугольников.
   3. На сколько увеличится или уменьшится длина окружности, если ее радиус увеличить на 10 см.
   4. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

   Билет № 22

   1. Формула площади трапеции (формула и пример).
   2. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
   3. Даны точки А (1, -3) и В (2, 0). Найдите такую точку С (х, у), чтобы векторы АВ и СА были равны.
   4. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

   Билет № 23

   1. Формула площади круга (формула и пример).
   2. Теорема Пифагора.
   3. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию.
   4. Найдите геометрическое место середин равных хорд окружности.
Чтение онлайн



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [13] 14 15 16 17 18 19 20 21

Навигация по сайту


Читательские рекомендации

Информация