А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
0-9 A B C D I F G H IJ K L M N O P Q R S TU V WX Y Z #


Чтение книги "Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс" (страница 10)

   Задачи для самостоятельного решения
   85. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам. (1)
   86. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра круга. Найдите угол между касательными, проведенными из данной точки к данному кругу. (1)
   87. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей. (2)
   88. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 6 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника. (2)
   89. Дано круговое кольцо, площадь которого Q. Определите длину хорды большего круга, касательной к меньшему. (2)
   90. Круг радиуса
   разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного в этот круг правильного треугольника. Определите площадь меньшего из этих сегментов. (2)
   91. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна π/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга. (3)

   § 2. Основные идеи и методы решения планиметрических задач

   Если в предыдущем параграфе мы рассматривали задачи, в которых центральное место принадлежит формулам планиметрии и тригонометрии, то теперь перейдем к задачам, где главную роль будут играть не формулы, а теоремы о свойствах и признаках геометрических фигур. Задачи в параграфе разбиты уже не по объекту исследования (треугольник, трапеция, круг и т. д.), а по ведущей идее решения.

   2.1. Задачи на вписанную в треугольник окружность

   Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев строить её не нужно. И наоборот, когда речь идёт о вписанной в треугольник окружности. Здесь не только нужно строить саму окружность, но и проводить радиусы к точкам касания (перпендикуляры к сторонам), а также соединять центр окружности с вершинами треугольника. При этом образуются равные треугольники.
   Примеры решения задач
   92. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника (рис. 168). (1)
   Рис. 168.

   Решение. Впишем в треугольник ABC окружность и соединим её центр О с вершинами В, С. Проведём также перпендикуляры ОК, ON, ОМ (см. рис.). Они являются радиусами вписанной в треугольник окружности. Из равенства треугольников ВМО и BNO следует, что ВМ = BN = 5. Аналогично, из равенства треугольников ОКС и ONC следует, что КС = NC = 12. Заметим также, что AMOK– квадрат и, значит, AM = АК = r. Получаем, что АВ = АМ + МВ = r + 5, АС = АК + КС = r + 12. По теореме Пифагора получаем: АВ2+ АС2= ВС2.
   (r + 5)2+ (r + 12)2= 172;
   r2+ 10r + 25 + r2+ 24r + 144 = 289;
   2r2+ 34r – 120 = 0;
   r2+ 17r – 60 = 0; r = 3.
   Катеты равны 5 + r = 8 и 12 + r = 15.
   Ответ: 8 см; 15 см.

   93. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника (рис. 169). (2)
   Рис. 169.

   Решение. Как и в предыдущей задаче, изобразим вписанную в треугольник окружность и соединим центр окружности О с вершинами треугольника. Проведем также перпендикуляры ОМ, ОТ, ОК, являющиеся радиусами окружности. Получены три пары равных треугольников: OAK и ОAT, ОВМ и ОВТ, ОСМ и ОСК. По условию одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Пусть для определенности эта сторона – ВС и ВМ = 8, МС = 6. Тогда ВТ = ВМ = 8, СК = СМ = 6. Длины отрезков АК и AT обозначим через х. Для нахождения величины х воспользуемся формулой S = рг. По формуле Герона
   Ответ: 13; 14; 15.
   Задачи для самостоятельного решения
   94. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки в 3 и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника. (1)
   95. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции. (2)
   96. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника. (3)

   2.2. Задачи на свойства параллельных прямых

   В ряде задач используют свойства параллельных прямых: при пересечении двух параллельных прямых третьей образуются равные углы (рис. 170).
   Рис. 170.

   Квартеты равных углов:∠1 = ∠4 = ∠6 = ∠8; ∠2 = ∠3 = ∠5 = ∠7.
   Особенно часто эти свойства применяются при решении задач на параллелограмм.
   Примеры решения задач
   97. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке F. Найдите длину BF, если сторона АВ = 11 (рас. 171). (1)
   Рис. 171.

   Решение. Из рисунка видно, что ∠BFA = ∠FAD (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых), но ∠BAF = ∠FAD по условию, и поэтому ∠BFA = ∠BAF. Значит, треугольник ABF – равнобедренный, и BF = АВ = 11.
   Ответ: 11.

   98. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM (рис. 172). (3)
   Рис. 172.

   Решение. Пусть АВCD – данный в условии задачи параллелограмм. Проведем через точку N высоту параллелограмма QR. Обозначим через α величину угла ВАМ; тогда величина угла АМВ равна α, т. к. ВС||AD и AM – секущая. Следовательно, треугольник АВМ равнобедренный и ВМ = АВ = 6 см, откуда заключаем, что ВС = AD = ВМ + МС = 6 + 4 = 10 см. Поскольку ∠ВМА = ∠MAD и ∠MBN = ∠BDA, как накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD, то треугольники BMN и AND подобны по двум углам. Так как в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, то из подобия треугольников AND и BNM имеем:
   откуда QN = 9/8 см.
   Площадь треугольника BNM равна:
   Ответ: 27/8 см2.
   Задачи для самостоятельного решения
   99. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD. (1)
   100. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол в отношении 1:3. Найдите стороны параллелограмма. (1)
   101. В параллелограмме ABCD биссектриса тупого угла В пересекает сторону AD в точке F. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 12 и AF: FD = 4:3. (1)

   2.3. Задачи на пропорциональные отрезки

   Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок. Идеи использования теоремы Фалеса хорошо видны на следующих примерах.
   Примеры решения задач
   102. Докажите, что медианы в треугольнике делятся в отношении 2:1, считая от вершины (известная теорема школьного курса математики). (2)
   Самый простой путь решения (рис. 173):
   Рис. 173.

   Проведем медианы AM и ВК, а также отрезок МТ, параллельный ВК. Имеем: т. к. ВМ = МС, то КТ = ТС. Но тогда АК = КС = 2КТ и, значит, АО: ОМ = АК: КТ = 2, что и требовалось доказать.

   103. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 · КС. Отрезки ВК и АМ пересекаются в точке О. Найдите AO/OM (рис. 174). (2)
   Рис. 174.

   Решение. Обозначим длину отрезка КС через а, тогда АК = За. Проведём MP||ВК По теореме Фалеса КР = РС = a/2. По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
   Ответ: 6.

   104. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 1:2, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1 (рис. 175). (3)
   Рис. 175.

   Решение. Проведём через точку L прямую LM параллельно прямой СК. Из подобия треугольников MBL и КВС следует, что
   Из подобия треугольников AKQ и AML находим:
   Кроме того, имеем следующие равенства:
   Ответ: 7/4.
   Задачи для самостоятельной работы
   105. ВМ: МС = 3:1, АК = КВ. Найдите: SAKO/SABC(рис. 176). (2)
   Рис. 176.

   106. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки M и N, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2.
   Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.(2)

   2.4. Задачи на свойства биссектрисы треугольника

   Биссектриса треугольника обладает одним замечательным свойством: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам (рис. 177).
   с/а = d/b или c/d = a/b.
   Рис. 177.

   Это свойство часто используется в задачах, в которых фигурирует биссектриса треугольника.
   Примеры решения задач
   107. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC, если АС = 4; DC = 2; BD = 3 (рис. 178). (1)
   Рис. 178.

   Решение. По свойству биссектрисы BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.
   Периметр треугольника РАВС = 6 + 5 + 4 = 15.
   Ответ: 15.

   108. Дан треугольник ABC, в котором ∠В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD (рис. 179). (2)
   Рис. 179.

   Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.
   Пусть AD = 2х; DC = Зх.
   Ответ: 12/5.
   Задачи для самостоятельного решения
   109. В треугольнике ABC, где АВ = 6, АС = 4, биссектриса AL и медиана ВМ пересекаются в точке О. Найдите BO/OM (1).
   110. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см. (2)

   2.5. Задачи на подобие

   Два треугольника подобны: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Очень важно в задаче увидеть подобные треугольники или другие подобные фигуры. Для этого нужна хорошая практика решения задач.
   При решении задач на прямоугольный треугольник полезно знать, что высота, проведённая из прямого угла, делит его на два подобных треугольника (рис. 180):
   ⊿ABD ~ ⊿ADC ~ ⊿ABC.
   Рис. 180.
Чтение онлайн



1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Навигация по сайту


Читательские рекомендации

Информация